유튜브 강의 내용을 참고하여 정리하였습니다.
▶ 자연상수 e란
베르누이에 의해 조명된 자연상수이다. 해당 개념은 복리를 계산하는 과정에서 복리를 최대화하기위해 계산하는 과정에서 비롯되었다.
분기 별로 1원의 가치를 가진 투자상품을 해지하고 재투자한다고 하면 이익은 (1+1/4)^4으로 2.4414가 나온다. 이번에는 매일매일 365일동안 하루만에 투자상품을 해지하고 재투자한다고 해보자. 그러면 이익은 (1+1/365)^365로 2.7이 나온다. 해지하고 재투자하는 기간이 짧을수록 이익율이 늘어난다. 그렇다면 무한번 해지하고 무한번 재투자하면 어떻게 될까.
그러면 2.1828...이라는 값에 수렴하는데 이 수치가 바로 자연상수 e이다.
베르누이가 조명한 이 자연상수를 오일러라는 수학자가 정리하여 출판함으로써 오일러 앞글자인 e를 따 자연상수 e로 불리게 되었다.
▶ 자연상수 e의 특징
- 무리수이자 다항식의 해로는 절대 올 수 없는 초월수이다.
- 상당히 많은 분야에서 계산을 자연스럽게 만들어준다.
파이를 예로 들어보자. 우리는 원이나 구, 혹은 곡선에 대한 계산을 수행할 때 파이를 사용함으로써 곡선에 대한 계산을 자연스럽게 할 수 있다.
e는 파이와 같이 많은 분야에서의 계산을 자연스럽게 만들어준다는 특징이 있다.
▶ e의 활용
- 자연상수 e는 특히 지수함수에 대한 미분을 자연스럽게 해줄 수있다. y=a^x에 대해 미분을 한다고 생각해보자. 미분을 하면 당연히 원래 그래프와는 다른 형태의 공식을 가질 것이라고 예상할 수 있다. 그런데 이 지수함수를 미분해도 같은 형태의 공식을 가질 수 있도록 해주는 미지수 a가 바로 자연상수 e이다. 즉, 자연상수 e는 다음과 같은 공식을 가능토록 해준다.
- 밑을 e로 두고 x에 로그를 취한 갑을 미분한 값은 1/x라는 유리함수가 나온다.
이 외에도 e는 많은 적용분야에서 자연스러운 계산을 유도하는 역할을 수행하고 있다. 실제로 딥러닝에서 시그모이드 활성화함수나 소프트맥스 활성화함수 등에서도 자연상수 e가 공식에 등장하는 것을 볼 수 있다.