연립 일차 방정식, 행렬로 풀기/ 가우스조던 소거법, 역행렬

▶ 연립일차방정식을 행렬로

연립일차방정식을 행렬로 나타내고 행렬을 통해 계산할 수 있다. 행렬을 통해 푸는 방법으로는 가우스 조던 소거법과 역행렬을 이용한 방법이 있다. 연립일차방정식에서 구해야할 해가 적다면 충분히 원래 알고 있던 방정식을 푸는 방식으로 풀 수 있지만 구해야 하는 해가 5개만 넘어가도 풀기 복잡해진다. 이럴 때 행렬을 사용하면 해를 더 간단하게 구할 수 있고 컴퓨터를 통해 더 효율적으로 연산을 처리할수 있다. 

그럼 두가지 방식에 대해 하나씩 알아보자.

 

 

 

▷ 가우스조던 소거법

먼저 가우스 조던 소거법을 사용하여 방정식을 풀어보자.

가우스 조던 소거법은 행연산에 상수배를 하여 다른 행에 더함으로써 첨가행렬(위 그림에서 1번 행렬)을 기약 행 사다리꼴로 변환하여 해를 구하는 방법이다. 

여기서 기약행 사다리꼴이란 간단히 설명하면 위 첨가행렬의 해가 구해져있는 행렬을 의미한다. 즉 첨가행렬을 기약행 사다리꼴로 만들면 연립방정식의 해를 구할 수 있다. 

기약행 사다리꼴의 조건

- 조건1. 각 행에서 모든 요소가 0이 아니라면 처음 등장하는 0이 아닌 수는 1이고 이 1을 leading 1이라고 부른다. 

위의 예시에서 주황색 형광부분에 해당하는 1들이 각 1행, 2행에서 처음 등장하는 1이므로 모두 leading 1이다.

 

- 조건2. 0행은 항상 맨아래에 모여있다.

위 예시에선 모든 요소가 0인 행이 없지만, 모든 요소가 0인 행은 항상 맨 아래에 위치해있어야한다. 

 

- 조건3. leading1의 위치는 위의행보다 항상 한 칸이상 뒤로 밀린다.

위 행렬에서 볼 수 있다싶이 2행의 1은 1행의 1보다 한칸밀려있다. 

 

- 조건 4. leading1이 포함된 열은 1을 제외하곤 모두 0이어야 한다. 

 

위 네 조건을 만족하는 행렬이 기약행 사다리꼴이며 행렬마다 하나의 기약행 사다리꼴 행렬을 가지고 있다. 위 행렬은 1번 행렬을 기약행 사다리꼴로 바꾼 행렬으로 x는 1, y는 2가 해임을 알 수 있다. 

 

 

가우스 조던 소거법은 다음과 같이 첨가행렬의 행에 상수배를 하고 다른 행에 더하고 빼는 소거법을 통해 행렬을 푸는 방법이다.

▷ 역행렬

연립 일차방정식 AX= B에서 A의 역행렬이 존재하면 해는 다음과 같이 X= A의역행렬*B로 구할 수 있다.