▶ 역행렬이란
정사각(nxn) 행렬의 역원을 역행렬이라고 한다. 역원은 행렬 A에 X행렬을 곱했을 때 나온 결과값이 항등행렬이면 X행렬을 A의 역원이라고 한다. 역행렬은 하나의 행렬에 대해 유일한 하나의 역행렬만 존재한다. 즉 X라는 역행렬은 A행렬에 대해 유일하게 존재하는 역행렬이라고 말할 수 있다.
▶ 역행렬의 공식
역행렬의 공식은 다음과 같다.
역행렬에서 ad-bc부분이 0이면 역행렬이 존재하지 못할 것이다. 따라서 우리는 A라는 행렬이 역행렬이 존재하는 행렬인지 아닌 행렬인지를 ad-bc가 0인지 아닌지를 통해 알 수 있다.
여기서 ad-bc를 우리는 판별식 또는 행렬식(determinant)로 det(A)라고 나타낸다.
det(A)가 0이 아니라서 역행렬이 존재하는 행렬을 가역행렬이라고 부른다. 반대로 행렬식이 0이라서 역행렬이 존재하지 않는 행렬을 비가역행렬 또는 특이행렬이라고 부른다.
▷ 역행렬 공식 증명
역행렬 공식을 안다는 가정하에 원래 행렬에 역행렬을 곱하면 정말 항등행렬이 되는지 보자.
역행렬 자체의 공식을 유도하는 증명은 가우스 조던 소거법을 통해 증명할 수 있는데 해당 방식에 대해선 다음 유튜브 강의를 참고하자.
▶ 역행렬의 특징
1) A, B가 가역행렬이면 AB도 가역행렬이다.
2) A의 역행렬의 역행렬은 A이다.
3) 상수 k를 A에 곱한 역행렬은 K의 역과 A의 역행렬을 곱한 것과 같다.
▶ 3x3 행렬의 역행렬 구하기
3x3이상의 행렬의 역행렬을 구해보았다.
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