직선, 평면 벡터방정식

▶  벡터방정식이란

함수에서 x에 값을 대입했을 때 도출되는 좌표값을 바로 산출할 수 있도록 하는 방정식이다.

 

예를들어,

y= mx라는 직선 방정식이 있다고해보자. 이때 x를 1이라고 하면 y는 m, 즉 (1,m)의 좌표값을 가지게 된다. 해당 함수의 직선위에 존재하는 좌표값들은 (1,m)에 스칼라 배를 해준 좌표들을 모아놓은 값일 것이다. 해당 함수의 벡터 방정식은 다음과 같이 나타낼 수 있다. 

 

v= (1,m)

(x,y)= tv

 

벡터가 (1,m)일 때 해당 벡터에 스칼라 배만 해주면 직선위에 존재하는 좌표값이 바로 나올 것이다.

그럼 (3,5m)좌표가 해당 직선에 포함되는 좌표인지 벡터 방정식을 통해 알아보자. x좌표가 3이 나오기 위해서 t는 3이되어야한다.

3v= 3(1,m)= (3,3m)이 벡터방정식의 결과로 나오는데 기존의 5m과 y 좌표값이 다르다. 그렇기 때문에 (3,5m)은 y=mx를 지나는 좌표가 아님을 알 수 있다.

 

 

 

▶ 직선의 벡터방정식 

이번에는 y= mx+b라는 직선이 있다고 해보자.  해당 직선의 v를 (0,b)라고 잡는다. 그런데 이전의 직선과 이번 직선이 서로 평행, 즉 이전의 직선에 +b값만 해주면 동일한 좌표값을 가진다는 것을 알 수 있다. 따라서 해당 직선의 벡터 방정식은 다음과 같이 이전에 구했던 벡터방정식 tv에 (0,b)벡터만 더해주면 구할 수 있다. 

(x,y)= tv + (0,b)

 

첫번째와 두번째의 벡터방정식을 봤을 때 두 방정식의 형태는 동일하되 더해주는 벡터값만 늘어난 것을 볼 수 있다. 이처럼 벡터방정식을 사용하면 벡터가 늘어나도(차원이 늘어나도) 하나의 방정식으로 차원을 표현할 수 있다는 장점이 있다. 

 

▷ 예제로 다음 직선의 벡터 방정식을 구해보자. 

 

 

 

▶ 평면의 벡터방정식

평면을 벡터방정식으로 나타내기 위해선 평행하지 않은 세개의 벡터가 필요하다. 

 

▷ x + 2y + 3z = 4의 방정식에 대한 벡터 방정식을 예제로 구해보자.

 

< 참고 영상>

https://www.youtube.com/watch?v=0XBosvCiDf0&list=PLdEdazAwz5Q_n47tqf0QY94ASCmWqeGX1&index=4